Экстремумы функции: определение и вычисление с примерами

Все элементы, находящиеся в определенном диапазоне функции, сопоставляются между собой. В результате можно наблюдать графическое отображение взаимосвязи. Экстре́мум функции (лат. extremum — крайнее) — максимальное или минимальное ее значение на заданном множестве.

Что такое функция

Функция — математическое понятие, которое связывает элементы двух множеств, ограниченных областью определения. Выражение обозначается символом f, а записывается в виде f(x), где x — переменная, представляющая элемент из области определения. Результат f(x) — принцип взаимодействия с переменной x, которая находится в нужном интервале.

Отображения могут быть заданы разными способами:

• аналитический — с помощью формулы или уравнения;
• графический – в виде диаграммы;
• табличный – заполненная таблица.

В контексте нахождения крайних значений, мы рассматриваем точки экстремума функций, которые имеют максимальный и минимальный результат.

Несколько слов о производной

Производная — одна из основных движущих сил математического анализа. Она позволяет изучать изменение выражения, в зависимости от манипуляций аргумента. Существуют простые закономерности, которые демонстрируют, как быстро меняются результаты в заданных точках.

К примеру, математически производная f(x) в точке x₀ имеет такой вид: f(x₀) = lim (h → 0) [f(x₀ + h)f(x₀)] / h.

Здесь приращение аргумента, а [f(x₀ + h)f(x₀)] – скорость изменения зависимых показателей.

Она может быть положительной, если выражение возрастает в данной точке, либо отрицательной, если тенденция противоположная. При наличии крайних результатов (условный максимум или минимум) она равна нулю. Когда возникает необходимость, пиковые значения легко найти, так как они обозначены точками. Производная помогает понять, как исследовать функцию на экстремум.

Алгоритм изучения экстремумов функций поиска понятен – достаточно выявить отрезки, на которых она не существует. Соответственно, базовый принцип нахождения крайних значений не требует уникальных способностей.

Задачи на экстремумы

Задачи на экстремумы функций неразрывно связаны с нахождением максимальных или минимальных результатов в разных заданных условиях. Они встречаются в науке, инженерии, экономике.

В задачах на экстремумы производной функции требуется определить переменные, при которых достигается пиковое значение целевого выражения, особенно с учетом наличия ограничений. В таких специфических заданиях есть только две цели: определить локальные или глобальные экстремумы функций.

Первый вариант подразумевает поиск точек, где выражение достигает максимума или минимума в диапазоне. Что касается второго примера, он считается более сложным, поскольку заставляет работать со всей областью определения.

Сегодня для решения таких задач используются различные методы, включая аналитические (теория Лагранжа или математическая индукция), численные (градиентный спуск) и другие. Выбор того или иного напрямую зависит от свойств выражения и условий задачи. 

Как думаете, действительно ли так часто людям из других областей (наука, инженерия и прочие) приходится сталкиваться с ситуациями, где нужно находить экстремумы функции? Поделитесь своим мнением в комментариях. Также сохраните статью в закладках, ведь, возможно, она пригодится вам на ЕГЭ.