Какой вектор называется суммой двух векторов

Законы сложения векторовДля правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.

В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.

Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами.

Оглавление:

У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется модулем (длиной).

Примеры:

  • скорость;
  • ускорение;
  • импульс;
  • сила;
  • момент;
  • силы;
  • перемещение;
  • напряженность поля и др.

Координаты на плоскости

Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.

Координаты вектора

Модуль рассчитывается по теореме Пифагора: Модуль вектора на плоскости

У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.

Сумма векторов




Существуют несколько правил для расчета суммы

  • правило треугольника;
  • правило многоугольника ;
  • правило параллелограмма.

Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.

Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.

Сложение перемещений

Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника.

Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец — с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове».

Правило треугольника

Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).

Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.

Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.

Модуль вектора

Примеры:

  • Скорость тела, брошенного горизонтально, перпендикулярна ускорению свободного падения.
  • При равномерном вращательном движении линейная скорость тела перпендикулярна центростремительному ускорению.

Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника, «хвост к голове»

Правило многоугольника

Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.

Сложение сил

Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма.

Правило параллелограмма

Длина в этом случае вычисляется по формуле

Модуль суммы векторов из одной точки

, где θ — угол между сторонами.

Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.

Элементы алгебры

  1. Сложение является двоичной операцией: за один раз можно сложить только пару.
  2. Коммутативность: сумма от перестановки слагаемых не изменяется a + b = b + a. Это ясно из правила параллелограмма: диагональ всегда одна и та же.
  3. Ассоциативность: сумма произвольного числа векторов не зависит от порядка их сложения (a + b)+ c = a +(b + c).
  4. Суммирование с нулевым вектором не меняет ни направление, ни длину: a +0= a .
  5. Для каждого вектора есть противоположный. Их сумма равна нулю a +(-a)=0, а длины совпадают.

Модуль суммы векторов из одной точкиВычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:

Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.

Разность векторов

Умножение на скаляр

Результатом умножения на скаляр будет вектор.

Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.

Скаляр — числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.

Примеры скалярных величин в физике:

  • масса;
  • время;
  • заряд ;
  • длина;
  • площадь;
  • объем;
  • плотность;
  • температура;
  • энергия.

Примеры:

  • Перемещение равномерно движущегося тела равно произведению времени и скорости s = vt .
  • Импульс тела — масса, умноженная на скорость p = mv .
  • Второй закон Ньютона. Произведение массы тела на ускорение равно приложенной равнодействующей силе ma=F.
  • Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, пропорциональна заряду F = qE.

Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.

Скалярное произведение векторов

Пример:

Работа является скалярным произведением силы и перемещения A = Fs .

Нет комментариев

Добавить комментарий

Спасибо! Ваш комментарий появится после проверки.
Adblock detector