Возьмите монету и проведите карандашом отрезок между двумя точками на её ободе. Этот отрезок — хорда. Простая идея, за которой скрываются несколько нетривиальных закономерностей. Именно они регулярно появляются в задачах — от школьных контрольных до ОГЭ и ЕГЭ.

Определение хорды в геометрии

Хорда — это отрезок, у которого оба конца лежат на окружности. Не внутри круга, не снаружи — именно на самой линии окружности.

Название восходит к греческому χορδή — струна. Образ работает: если натянуть нить между двумя гвоздями, вбитыми в обод колеса, получится хорда. Сама нить — внутри, гвозди — на ободе.

Хорду легко спутать с секущей. Секущая — это прямая, которая прорезает окружность насквозь и уходит в обе стороны до бесконечности. Хорда — только тот отрезок, что зажат между двумя точками пересечения. Если секущую «обрезать» по краям окружности, останется хорда.

Хорда и её связь с другими элементами окружности

Хорда и диаметр

Проведите хорду так, чтобы она прошла через центр окружности. Такая хорда называется диаметром. Подобным образом провести отрезок можно только один раз для каждого направления — и каждый раз получается диаметр.

Почему диаметр длиннее любой другой хорды? Потому что центр — самая «глубокая» точка круга. Хорда, которая до него дотягивается, захватывает максимально возможный отрезок. Любая другая «срезает» круг в стороне от центра и получается короче. Формула простая: d = 2R.

Хорда и дуга

Проведите хорду — и окружность распадается на два куска. Каждый кусок называется дугой. Если хорда не является диаметром, дуги неодинаковые: одна побольше, другая поменьше. Дугу обозначают теми же буквами, что и хорду, только со значком ⌢ сверху: ⌢AB.

Длина хорды и размер дуги связаны напрямую: чем длиннее отрезок, тем шире дуга, на которую он «натянут». Диаметр натянут ровно на полуокружность — обе дуги при этом равны.

Хорда и сегмент

Хорда плюс одна из дуг вырезают из круга плоскую фигуру — сегмент. Визуально это срез: будто взяли круг и отрезали кусок прямым ножом. Линия разреза — хорда, выпуклая часть — дуга. Чем ближе хорда к краю окружности, тем тоньше сегмент.

Свойства хорд окружности

Перпендикуляр из центра

Проведите из центра окружности перпендикуляр к любой хорде. Он упрётся ровно в её середину — не левее, не правее. Это следует из симметрии: окружность симметрична относительно любого диаметра, а перпендикуляр из центра к хорде как раз лежит на оси этой симметрии.

Практическое следствие: если нужно найти центр окружности, проведите две произвольные хорды и постройте серединный перпендикуляр к каждой. Пересечение перпендикуляров — центр.

Равные хорды — равные расстояния

Расстояние от центра до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра. Две хорды одинаковой длины находятся от центра на одном и том же расстоянии. Увеличьте одну хорду — она придвинется к центру. Уменьшите — отодвинется.

Крайний случай: если расстояние от центра до «хорды» равно радиусу, отрезок вырождается в одну точку — прямая лишь касается окружности, не пересекая её.

Пересекающиеся хорды

Когда две хорды пересекаются внутри окружности, точка пересечения делит каждую на два отрезка. Замечательный факт: произведение двух отрезков одной хорды всегда равно произведению двух отрезков другой. Если хорды KL и MN пересеклись в точке P:

KP · PL = MP · PN

Это свойство доказывается через подобие треугольников, которые образуются при соединении концов хорд. Подобие возникает из равенства вписанных углов, опирающихся на одни и те же дуги.

Параллельные хорды

Параллельные хорды отсекают между собой равные дуги. Дуга между правым концом одной хорды и правым концом другой равна дуге между левыми концами. Это свойство удобно при работе с вписанными трапециями: основания трапеции — параллельные хорды, а равенство боковых дуг доказывает равнобедренность трапеции.

Хорда и вписанный угол

Вписанный угол опирается на хорду: его вершина лежит на окружности, а стороны проходят через концы хорды. Все вписанные углы, которые смотрят на одну хорду с одной стороны, равны между собой — независимо от того, где именно на дуге стоит вершина. Два угла с разных сторон хорды в сумме дают 180°.

Свойства хорд: коротко о главном

Условие	Следствие
Хорда проходит через центр	Это диаметр, d = 2R
Перпендикуляр из центра опущен на хорду	Он проходит через середину хорды
Две хорды равны	Расстояния от центра до них одинаковы
Две хорды пересекаются в точке P	KP · PL = MP · PN
Две хорды параллельны	Дуги между ними равны
Два вписанных угла на одну хорду с одной стороны	Углы равны
Два вписанных угла на одну хорду с разных сторон	Сумма углов = 180°

Как обозначается хорда и дуга

Хорду называют по двум крайним точкам: хорда AB, хорда KM. В записях и формулах длину хорды обозначают |AB| или просто AB, если из контекста ясно, что речь о числе, а не об отрезке.

Дуга обозначается теми же буквами, но со значком ⌢: запись ⌢AB читается «дуга AB». Когда важно уточнить, какая именно из двух дуг — меньшая или большая — добавляют третью точку, лежащую на нужной дуге: ⌢AМB означает дугу, которая проходит через точку M.

Формула длины хорды окружности

Через радиус и расстояние от центра

Обозначим радиус R, а расстояние от центра до хорды — d. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: получается прямоугольный треугольник, где R — гипотенуза, d — один катет, а половина хорды — другой. Теорема Пифагора даёт:

AB = 2√(R² − d²)

Через радиус и центральный угол

Центральный угол φ опирается на ту же дугу, что и хорда. Два радиуса к концам хорды образуют равнобедренный треугольник. Высота из центра пополам делит и угол, и хорду. В образовавшемся прямоугольном треугольнике синус половины угла равен (AB/2) / R:

AB = 2R · sin(φ/2)

Через радиус и вписанный угол

Вписанный угол γ вдвое меньше центрального на ту же дугу — это теорема о вписанном угле. Подставляя γ вместо φ/2 в предыдущую формулу:

AB = 2R · sin γ

Та же формула следует из теоремы синусов: в любом треугольнике, вписанном в окружность радиуса R, сторона равна 2R · sin(противолежащего угла).

Примеры задач на хорду окружности

Задача 1. Найти хорду через радиус и расстояние до центра

Радиус окружности равен 15 см. Хорда AB удалена от центра на 9 см. Чему равна длина хорды?

Применяем формулу: AB = 2√(15² − 9²) = 2√(225 − 81) = 2√144 = 2 · 12 = 24 см.

Задача 2. Пересекающиеся хорды

Хорды EF и GH пересекаются внутри окружности в точке K. Дано: EK = 6 см, KF = 8 см, GK = 4 см. Найдите KH.

По свойству пересекающихся хорд: EK · KF = GK · KH.

6 · 8 = 4 · KH → KH = 48 / 4 = 12 см.

Задача 3. Хорда через центральный угол

Центральный угол равен 90°, радиус окружности — 7 см. Найдите длину хорды, на которую он опирается.

AB = 2 · 7 · sin(90°/2) = 14 · sin 45° = 14 · (√2/2) = 7√2 ≈ 9,9 см.

Заметьте: при центральном угле 90° хорда равна R√2. Это легко проверить геометрически — такая хорда является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой-диаметром.

Типичные ошибки при решении задач на хорды

Разберём четыре ошибки, которые чаще всего встречаются в задачах на хорды окружности:

• Подменяют хорду радиусом. Хорда соединяет две точки на окружности, радиус — центр с точкой на окружности. В формулах это разные величины, и путаница даёт неверный ответ.
• Берут половину вместо целой хорды. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, и из треугольника получается AB/2. Итоговая формула AB = 2√(R² − d²) — без умножения на 2 ответ будет вдвое меньше.
• Смешивают центральный и вписанный угол. Вершина центрального угла — в центре окружности, вписанного — на ней. Формулы разные: AB = 2R · sin(φ/2) для центрального, AB = 2R · sin γ для вписанного.
• Применяют теорему о пересекающихся хордах к секущим. Формула KP · PL = MP · PN действует только когда хорды пересекаются внутри окружности. Если точка пересечения снаружи — это теорема о секущих, там формула другая.

Если задача не решается, стоит в первую очередь проверить, выполнено ли условие применяемого свойства.