Особенности и правила умножения вектора на число

При обучении математике и физике в старших классах средней школы, а также в высших учебных заведениях постоянно приходится сталкиваться с понятием вектора. Учащиеся и студенты обязаны уметь проводить с векторами простейшие арифметические действия.

В статье будет показано, как умножать их на постоянные числа.

Оглавление:

• Основные понятия и определения
• Правила умножения вектора на число
• Алгебраический и геометрический смысл действия
• Формулы умножения
• Возможные действия с векторами

Основные понятия и определения

Чтобы в дальнейшем упростить работу со статьёй, введём некоторые формулировки и договорённости:

1. Постоянная — любое обычное число, которое может принимать определённые фиксированные значения, быть положительным, отрицательным или нулевым. Обозначать будем латинской буквой С (от греческого слова constanta, то есть постоянная).
2. Вектор — участок прямой, ограниченный двумя точками и имеющий заданное направление. Обозначать будем как (АВ). Причём точка, А является его началом, В — концом. Направление будем считать от точки, А к точке В. Допустима замена на (CD).
3. Вектора называются параллельными (коллинеарными), если они лежат на коллинеарных прямых или на одной прямой.
4. Нулевым вектором называется такой, у которого конец и начало совпадают. Называется нуль-вектор и обозначается (0).
5. Координатами (АВ) называются числа, равные его протяжённости относительно каждой из оси координат в Декартовой системе. Они находятся вычитанием из координат конца вектора координат его начала. Знак минус перед этим числом означает, что вектор направлен против направления данной оси.
6. Модулем (АВ) называется длина отрезка АВ.
7. Квадратный корень из числа или выражения условимся обозначать латинским буквосочетанием SQRT.
8. (АВ) с координатами (x; y; z) будем обозначать как (АВ) (x; y; z).

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Правила умножения вектора на число

Рассмотрим, как умножить вектор на число:

1. Прежде всего отметим, что при умножении на отрицательную постоянную меняется направление на противоположное.
2. Если constanta больше -1, но меньше 1, то модуль (АВ) уменьшится. Проще говоря — отрезок станет короче.
3. Если постоянная равна нулю, С=0, то результатом вычислений окажется (0).
4. Для умножения (АВ) (x; y; z) на некую постоянную, нужно найти произведение каждой из координат с этой постоянной. Получится (А1В1) (С*x; С*y; С*z).

Интересно знать: Модуль числа в математике.

Алгебраический и геометрический смысл действия

Любое математическое действие имеет некий смысл, причём в разных науках он различается. Рассмотрим, что нам даёт этот вид умножения:

1. Геометрический смысл: (АВ)*С — это вектор, коллинеарный данному, модуль которого отличается в С раз от исходного, направление может совпадать или меняться на противоположное в зависимости от знака постоянной.
2. Алгебраический смысл: (АВ) (x; y; z)*С — это новый (А1В1) с координатами равными (С*x; С*y; С*z).
3. Физический смысл: уменьшение или увеличение в С раз силы действующей на тело или материальную точку.

Это интересно: как разложить на множители квадратный трехчлен?

Формулы умножения

При умножении проще всего использовать заранее заученные на память формулы, которые вполне можно применять по шаблону, выполняя действия буквально на полном автомате:

• С*(АВ) (x; y; z) = (А1В1) (С*x; С*y; С*z).
• 0*(АВ) = (0).

Для начала возьмём физическую задачу воздействия силы на материальную точку. Пусть на неё действует сила, описываемая (АВ) (57;63;28). Как изменится эта сила по координатам при её десятикратном увеличении?

Прежде всего следует отметить, что направление воздействия силы не изменится, а сама сила возрастёт десятикратно. При раскладке по координатам получим следующее:

10*(АВ) (57;63;28) = (А1В1) (10*57;10*63;10*28) = (А1В1) (570;630;280).

Вторую задачу возьмём аналогичную: как изменится сила, действующая на материальное тело, описываемая (АВ) (46;59;-43) при её увеличении в -0,5 раза.

Прежде всего заметим, что знак у постоянной отрицательный, следовательно, направление самой силы изменится на противоположное. Воспользуемся пунктом 2 вышеизложенных правил умножения, тогда сразу станет понятно, что численное выражение силы уменьшится вдвое. Проведём вычисления по шаблону:

-0,5*(АВ) (46;59;-43) = (А1В1) (-0,5*46;-0,5*59;-0,5*(-43)) = (А1В1) (-23;-29,5;21,5).

Следует заметить, что приведённые выше задачи решались для векторов, размещённых в пространстве и имеющих три координаты. В случае плоскостного размещения количество координат уменьшается до двух, а в случае линейного — до одной. Рассмотрим математические примеры для этих случаев:

• 33*(CD) (11;10) = (C1D1) (33*11;33*10) = (C1D1) (363;330).
• -0,2*(АВ) (-0,3;25) = (А1В1) (-0,2*(-0,3); -0,2*25) = (А1В1) (0,06; -5).
• 67*(CD) (2) = (C1D1) (67*2) = (C1D1) (134).
• 0*(АВ) (65;-87) = (0).

Возможные действия с векторами

Не следует думать, что все возможные действия ограничиваются умножениям на число. Прежде всего можно определить длину (АВ) — модуль. Он будет равняться SQRT из суммы квадратов координат. Поясним это на примере:

• модуль (АВ) (3;4) = SQRT (3 ²+ 4 ²) = SQRT (9 + 16) = SQRT25 = 5.

Кроме этого, из курса школьной математики и физики известно, что вектора можно слагать один с другим и вычитать друг из друга. При этом проводится сложение и вычитание соответствующих координат.

Наконец, высшая математика вводит понятия числового (скалярного) и векторного умножения двух векторов. В первом случае получится некое число, во втором — третий вектор, направленный перпендикулярно плоскости, содержащей два первых.

В данной статье приведены основы умножения вектора на число. Исходя из её материала, можно утверждать, что действие это простое и доступное любому школьнику с удовлетворительной успеваемостью. Рекомендуется изучить формулы и в своих вычислениях действовать по изложенному в тексте шаблону. Что такое сравнение в литературе читайте в нашей статье.